ПРОСТІ ТИПИ ДАНИХ

5.1 Арифметика наближених обчислень

          5.1. Обчислити значення функції round

а) round(35.774873, 5, 10);

б) round(0.0000237927, 4, 10);

в) round((110.0100110)₂, 7, 2);

г) round((3.77673)₈, 3, 8);

д) round(1345271, 4, 10);

е) round((21.4322)₅, 3, 5).

          5.2. Підібрати приклади, що показують порушення співвідношень

а) x +_p (y +_p z)=(x +_p y) +_p z;

б) x*_p (y*_p z)=(x *_p y) *_p z;

в) x*_p (y +_p z)=x*_p y +_p x*_p z

          при р=8.

Відповідь

а) х=11111113.,   у=-111111., z        =7.5111111.;

          5.3. Вкажіть х такий, що (x +_p x) /_p 2 <> x при р=8.

          5.4. Чи виконується рівність x /_p y=x*_p (1 /_p y) для всіх дійсних чисел?

          5.5. Доведіть або спростуйте співвідношення

                   a) 0 -_p (0 -_p x)=x;

                    b) 1 /_p (1 /_p x)=x .

          5.6. Чи вірно, що u <= (u +_p v) /_p 2 <= v при u <= v ?

          Розв`язок. В звичайній арифметиці при u <= v справедлива нерівність

          u=(u+u) <= (u+v) <= (v+v)=v.

          В aрифметиці наближених  обчислень x=(x +_p x) /_p 2 справедливе не завжди, що призводить до порушення нерівностей

           u <= (u +_p v) /_p 2 <= v при  u <= v.

           Достатньо взяти (р=8)          u=9.2222222,        v=9.2222223  .

          5.7. Нехай р=4. Послідовність a_n (n>=1) задана співвідношенням a₁=1000, a_n=0.5 (n>=2). Скласти алгоритм обчислення суми a₁ + a₂ + ... + a_n  з точністю e=1.

          5.8. Нехай р=4. Послідовність  задана співвідношенням a_i=5000+i. Скласти алгоритм обчислення середнього арифметичного (a₁+...+a_n) з точністю e=1.

          5.9. Розв`язати квадратне рівняння ax<sup>2</sup>+bx+c=0, використовуючи наближені обчислення з чотирма (р=4) і шістьма (р=6) значущими цифрами.Порівняти отримані корені один з одним і з точним розв`язком. Знайти спосіб обчислення і скласти алгоритм, що дає результат з відносною похибкоюd.

          Вказівка: Скористатися теоремою Вієта.

          5.10. Якщо в системі рівнянь .замінити радикали їх наближеннями, то що можна сказати про розв`язок отриманої системи методом Крамера? Що вийде, якщо збільшити точність наближення радикалів?

5.2 Натуральний та цілий типи даних

          5.11. Скласти алгоритм обчисення найбільшого спільного дільника

а) двох натуральних чисел;

б) двох цілих чисел

за допомогою метода Евкліда.

          Розвязок 1а.

          алгоритм НСД це

                   змін M,N,V,U: нат;

          поч

                   взяти (M,N);

                   U¬M; V¬N;

                   поки U<>V повт

                             якщо U<V то V¬V-U

                             інакше U¬U-V

                             кр

                   кц;

                   показати (U)

          ка.

          5.12. Скласти алгоритм обчислення найменшого спільного кратного двох натуральних чисел m і n та порівняти області визначеня алгоритма, побудованого за формулою

НСК(m,n)=

і алгоритма за формулою

НСК(m,n)= .

          5.13. Дано натуральні числа m і n. Знайти такі натуральні числа p і q, не виключаючи спільних дільників, що .

          5.14. Знайти всі прості нескоротні дроби, що містяться між 0 і 1, знаменники яких не перевищують 7 (дріб задається двома числами- чисельником та знаменником ).

          5.15. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм знаходження всіх  таких натуральних q, що n ділиться на q² і не ділиться на q³.

          5.16. Дано натуральні числа m i n. Скласти алгоритм знаходження всіх їх натуральних спільних кратних , менших добутка m*n.

          5.17. Дано натуральні числа m i n. Скласти алгоритм знаходження всіх їх спільних дільників.

          5.18. Два натуральних числа називаються дружніми, якщо  кожне з них дорівнює сумі всіх дільників іншого, крім самого цього числа. Скласти алгоритм знаходження всіх пар дружніх чисел, що лежать в діапазоні від 200 до 300.

          5.19. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм знаходження всіх піфагорових трійок натуральних чисел, кожне з яких не перевищує n, тобто всіх таких трійок натуральних чисел a, b, c, що 

          5.20. Натуральне число з n цифр є числом Армстронга, якщо сума його цифр, піднесених до n-того степеня, дорівнює самому числу (наприклад, 153=). Скласти алгоритм знаходження всіх чисел Армстронга, що складаються з двох, трьох та чотирьох цифр.

          5.21. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм, що визначає, чи можна подати його у вигляді суми двох квадратів натуральних чисел. Якщо це можливо, то

а)       вказати пару а, b таких натуральних чисел , що n=;

б)      вказати пару а, b таких натуральних чисел , що n=,a>=b.

          5.22. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм,що дозволяє

а)       переставити першу та останню цифри числа n;

б)      приписати по одиниці в початок та кінець запису числа n;

в)       одержати суму m останніх цифр числа n.

          5.23. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм, що визначає серед чисел 1, ..., n всі такі, запис яких співпадає з останніми цифрами запису їх квадратів (наприклад,  і т.д.).

          Розвязок.

          Очевидно, що якщо запис числа х співпадає з останніми цифрами його квадрата x², то різниця x²-х ділиться на 10 у степені , що дорівнює кількості цифр у числі х. Враховуючи цю обставину, запишемо алгоритм у вигляді

          алгоритм Квадрат це

                   змін x,y,n,k: ціл;

          поч

                   взяти(n);

                   для x ¬1 до n повт

                             k¬1; y¬x;

                             поки y<>0 повт

                                      y¬y div 10; k¬k*10

                             кц;

                             якщо (x*x-x) mod k=0 то показати (x) кр

                   кц

          ка.

          5.24. Назвемо натуральне число паліндромом , якщо його запис читається однаково зліва направо і справа наліво (наприклад, 1, 393, 4884). Скласти алгоритм, що визначає, чи є задане натуральне число n паліндромом.

          5.25. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм знаходження всіх менших n натуральних чисел

а) які при піднесенні до квадрату дають паліндром;

б) паліндромів, які при піднесенні до квадрату дають також паліндром.

          Розв`язок. а) Для х=1, ..., n будемо порівнювати значення  з числом m, що є записом числа у у зворотньому порядку.

          алгоритм Пал_квадрат  це

                   змін n,x,y,m,p,q,a : ціл;

          поч

                   взяти (n);

                   для х¬1 до n повт

                             y¬x*x; m¬0; p¬y;

                             поки р<>0 повт

                                      a¬p mod 10; р¬p div 10; m¬m*10+a

                             кц;

                             якщо y=m то показати(х) кр

                   кц

          ка.

          5.26. Задані натуральне число n, цілі числа a, x₁, …, x_n. Скласти алгоритм визначення номера члена послідовності, який дорівнює а. Якщо такого немає, то відповіддю має бути число 0.

          5.27. Задані натуральне число n, цілі числа a, x₁, …, x_n. Якщо в послідовності x₁, …, x_n є хоча б один член, що дорівнює а, то отримати суму всіх членів, які слідують за таким членом послідов­ності, в протилежному випадку відповіддю має бути відповідне текстове повідомлення.

          5.28. Задані натуральне число n, цілі числа a₁, …, a_n. Отримати суму додатніх, кількість від’ємних і число нульових членів послідовності a₁, …, a_n.

          5.29. Задані натуральні числа n і p, цілі числа a₁, …, a_n. Скласти алгоритм обчислення добутку членів послідовності, кратних р.

Розв’язок.

          алгоритм  Добуток це

                    змін n,p,i,k:нат;

                             s,a:ціл;

          поч

                   взяти (n,р);

                   s¬1; k¬1;

                   повт n раз

                             взяти(а);

                             якщо a mod p=0 то s¬s*а; k¬k+1 кр

                   кц;

                   якщо k=1 то показати (‘таких немає’)

                   інакше показати(s)

                   кр

          ка.

          5.30. Дано натуральне число n. Скласти алгоритм, який з`ясовує, чи можна подати n! у вигляді добутку трьох послідовних чисел.